Budownictwo 2006 Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej

tryb

ja na egzaminie 5 zrobilem tak:
szukana plaszczyzna przechodzi przez ten podany punkt i jest prostopadla do wektora o takich współrządnych jak punkt. strona bodajrze 120 w pierwszym skoczylasie jest rozwiazanie takiego zadania, "równania płaszczyzn" podpunkt A ;]

kolejnybuhhh

Poprawcie mnie jeśli się mylę.

Dane jak ktoś podał w pierwszym poście:
O=(0,0,0) i P=(1,2,-3)

sz: pi do której należy P

wek OP=(1,2,-3)

pi: (x-1, y-2, z+3) skalarnie (1,2,-3) = 0

x-1+2y-4-3z-9 = 0
x+2y-3z-14 = 0

szukamy 2 wektorów niewspółliniowych rozciągających tą płaszczyznę, czyli np.
v=(2,-1,0), bo (1,2,-3) skalarnie (2,-1,0) = 0
i
u=(0,3,2), bo (1,2,-3) skalarnie (0,3,2) = 0

i otrzymujemy równanie parametryczne płaszczyzny:

pi:

x=1+2s
y=2-s+3t
z=-3+2t

s,t należą do R

tryb

no ja wlasnie tak zrobilem ;]

Pepe

masz tu Tomek tok myslenia do zadania 6:
r(t)=(t, t^2 /2, t^3 /3 )
plaszczyzna nasza ma byc rownolegla do plaszczyzny z=0 <==> postac ogolna plaszczyzny 0(x-x_0)+0(y-y_0)+1(z-z_0)=0 ==> wektor normalny N tej plaszczyzny na wspolrzedne N=[0,0,1]

teraz liczymy kolejne pochodne r(t); r'(t)=(1, t, t^2); r''(t)=(0, 1, 2t)
teraz potrzebujesz wyliczyc wektor b poniewaz jest on wektorem normalnym naszej szukanej plaszczyzny, czyli robisz iloczyn wektorowy r'(t) oraz r''(t) wychodzi ci b=[t^2, -2t, 1]
teraz musisz sprawdzic dla jakich t wektory N oraz b sa rownolegle czyli jednakowe Smile

jest to spelnione dla t=0 wobec czego podstawiajac do naszego poczatkowego wzoru na r(t) otrzymujemy ze nasz szukany pkt ma wspolrzedne r(t)=(0,0,0)
teraz jeszcze musisz wyliczyc krzywizne krzywej Smile

ale to juz masz na to wzorek na wykladach podany nie chce mi sie go przepisywac Smile

Krzywizna wychodzi 1

Koniec zadania 6

Pepe

wiem ze to troche glupie, ale ja juz nie mam nerwow do tego a nie chce mi wyjsc.... moze mi ktos rozwiazac taki prostacki uklad ??
3x-y+2z=0
-x+3y-2z=0
2x-2y-2z=0

HELP...

kolejnybuhhh

nie wiem w sumie co sprawiło Ci problem...

Mi wyszło, że rzA=rz[A|B]=3, zatem mamy jedno rozwiązanie.

nimfetka

A się oblicza z tego wzoru A= PDP' bo przekształcasz sobie wzór D=P'AP tylko mnożenie macierzy jest nieprzemienne i jak mnożysz z lewej przez coś to obydwie strony równania np. D = P'AP / *P(lewostronnie) PD = AP /*P' (prawostronnie) PDP' = A i świat jest bardziej słoneczny!!;P

nimfetka

aha!! Skoczylasa polecam!!! ;D

kolejnybuhhh

Teraz pytanie co do 3 zad ze sprawdzaniem czy macierz jest diagonalna.

Wartości własne wychodzą 4 i 2x 1. Czy to, że 1 to podwójny pierwiastek to ma to jakiś wpływ i jak to się wtedy rozwiązuje ?

Chyba głupie to pytanie...

PS. THX nimfetka

algebroman

Chyba ma wpływ, bo suma tych rozmiarów przestrzeni własnych ma byc równa krotnościom wartości wlasnych więc pewnie w tym przypadku 3

tryb

wystarczy napisac ze macierz nie jest diagonalna

kolejnybuhhh

Ale trzeba jakoś to udowodnić i pytanie brzmi jak ?

Pepe

macierz mozna diagonalizowac jezeli dimLA1 + dimLA2+....=dimA; LA=lambda(wartosc wlasna)

jezeli nie jest rowne po prostu piszesz ze macierz nie jest diagonalna i tyle

kolejnybuhhh

Wykład X - 13.12.06

Kryterium diagonalizowalności brzmi tak:

spec(f) = { LA1,...,LA1 = alfa1, LA2,...,LA2 = alfa2, LAk,...,LAk = alfak } ,
alfa1 + alfa2 + ... + alfak = n = dimE , alfai - krotność własna LAi

f - jest diagonalizowalne <=> wymiar przestrzeni własnych E.LAi , i = 1,...,k są równe krotnością wartości własnych tzn dimE.LAi = alfai, i =1,...,k

------------------------------------------------------------------------------------

W naszym zadaniu tak mi się zdaje mamy:

LA1= 1 razy 2 czyli alfa1 = 2 i LA2= 4 czyli alfa2 = 1

zatem alfa1+alfa2=3

To jeśli macierz jest diagonalizowalna to wymiar przestrzeni własnej też musi być równy 3.

Pytanie brzmi: Co to jest ten wymiar przestrzeni własnej i jak go obliczyć?

Może ktoś wreszcie napisać jak rozwiązał to zadanie ??

algebroman

Rozmiar przestrzeni własnej robię tak:
tworzysz macierz B=[A-lamda*I] I-macierz jednostkowa, za lambde podstawiasz np lamda1.
Wyznacznik tej macierzy wyjdzie 0. Wyznaczasz rząd macierzy B. Zaznaczasz najwiekszy minor niezerowy macierzy B. Równanie, które nie jest reprezentowane w minorze nie bierzesz pod uwagę. Z minora tworzysz układ równań przy czym za zmienne które są poza minorem podstawiasz parametry. np |1 2| 3
|0 1| 4
z=t. x+2y=-3t ^ 0x+y=-4t. Wyjdzie ci wektor o współrzędnych zależnych od 1 parametru, czyli tą przestrzeń określa 1 wektor bazowy, czyli dimE|lambda1=1. Gdyby macierz A była 3 stopnia a rząd macierzy B (dla lambyn) np 1 to wtedy dim E|lambdan byłby 2.
Ja tak to robię, jak jest źle niech ktoś napisze.[/i]